1. Запишем уравнения реакций:
(1) SO₃ + H₂O = H₂SO₄
(2) H₂SO₄ + Ba(OH)₂ = BaSO₄↓ + 2H₂O
(3) SO₃ + 2NaOH = Na₂SO₄ + H₂O
(4) H₂SO₄ + 2NaOH = Na₂SO₄ + 2H₂O

2. Найдем количество вещества исходных реагентов:
m_{исх. р-ра} (H₂SO₄) = V ∙ ρ = 625 ∙ 1,04 = 650 г
n_исх. (H₂SO₄) = V ∙ С = 0,625 ∙ 0,8 = 0,5 моль
n(BaSO₄) = m : M = 209,7 : 233 = 0,9 моль

3. Выполним расчеты по уравнениям реакций:
Пусть в составе олеума х моль SO₃, тогда m(SO₃) = n ∙ M = 80х г
m_{в олеуме} (H₂SO₄) = 37,4 – m(SO₃) = 37,4 – 80х г
n_{в олеуме} (H₂SO₄) = m : M = (37,4 – 80х) : 98 моль
n_{1 по р-ции} (H₂SO₄) = n(SO₃) = х моль
n_общ. (H₂SO₄) = n_исх. (H₂SO₄) + n_{в олеуме} (H₂SO₄) + n_{1 по р-ции} (H₂SO₄)
n_общ. (H₂SO₄) = 0,5 + (37,4 – 80х) : 98 + х
n_общ. (H₂SO₄) = n(BaSO₄)= 0,9 моль
0,5 + (37,4 – 80х) : 98 + х = 0,9
Отсюда х = 0,1 моль SO₃

4. Найдем массовую долю сульфата натрия в конечном растворе:
m_{в олеуме} (H₂SO₄) = 37,4 – 80 ∙ 0,1 = 29,4 г
n_{в олеуме} (H₂SO₄) = m : M = 29,4 : 98 = 0,3 моль
n(Na₂SO₄) = n_{в олеуме} (H₂SO₄) + n(SO₃) = 0,3 + 0,1 = 0,4 моль
m(Na₂SO₄) = n ∙ M = 0,4 ∙ 142 = 56,8 г
m(fin р-ра) = m_р-ра (NaOH) + m(олеума) = 400 + 37,4 = 437,4 г
ω_ост. (Na₂SO₄) = 56,8 : 437,4 · 100% = 13%

Ответ: ω(Na₂SO₄) = 13%